Matematikai elemzés. Hogyan lehet megoldani a korlátokat a próbababák számára? A halmazműveletek tulajdonságai

Új oldal 1

Matematikai elemzés bábukhoz. 1. lecke. Készletek.

A készlet fogalma

Egy csomó bizonyos tárgyak gyűjteménye. Milyen készletek lehetnek? Először is véges vagy végtelen. Például egy dobozban lévő gyufahalmaz egy véges halmaz, ezeket meg lehet venni és megszámolni. Sokkal nehezebb megszámolni a homokszemek számát a parton, de elvileg lehetséges. Ezt a mennyiséget pedig valamilyen véges szám fejezi ki. Így természetesen a parton is sok homokszem van. De az egyenes pontjainak halmaza végtelen. Mivel először is, maga az egyenes végtelen, és annyi pontot rakhatsz rá, amennyit csak akarsz. A szakasz pontjainak halmaza is végtelen. Mert elméletileg a pont tetszőleges kicsi lehet. Természetesen fizikailag nem rajzolhatunk olyan pontot, amely például kisebb egy atom méreténél, de matematikai szempontból egy pontnak nincs mérete. A mérete nulla. Mi történik, ha egy számot elosztunk nullával? Így van, a végtelenség. És bár az egyenesen és a szakaszon lévő pontok halmaza a végtelenbe hajlik, ezek nem ugyanazok. A halmaz nem valaminek mennyisége, hanem bizonyos tárgyak gyűjteménye. És csak azokat a halmazokat tekintjük egyenlőnek, amelyek teljesen azonos objektumokat tartalmaznak. Ha egy halmaz ugyanazokat az objektumokat tartalmazza, mint egy másik halmaz, de plusz még egy „bal” objektum, akkor ezek többé nem egyenlő halmazok.

Nézzünk egy példát. Legyen két készletünk. Az első egy vonal összes pontjának összegyűjtése. A második a szakasz összes pontjának halmaza. Miért nem egyenlőek? Először is, a szakasz és az egyenes nem is metszi egymást. Akkor biztosan nem egyenlőek, hiszen teljesen különböző pontokat tartalmaznak. Ha metszik egymást, akkor csak egy közös pontjuk van. Mindenki más ugyanolyan más. Mi van, ha a szakasz egy egyenesen fekszik? Ekkor a szakasz minden pontja az egyenes pontja is. De nem minden pont egy egyenesen pont egy szakaszon. Tehát ebben az esetben a halmazok nem tekinthetők egyenlőnek (ugyanolyannak).

Minden halmazt egy szabály határoz meg, amely egyértelműen meghatározza, hogy egy elem ebbe a halmazba tartozik-e vagy sem. Mik lehetnek ezek a szabályok? Például, ha a halmaz véges, akkor hülyén felsorolhatja az összes objektumát. Beállíthat egy tartományt. Például minden egész szám 1-től 10-ig. Ez is véges halmaz lesz, de itt nem az elemeit soroljuk fel, hanem egy szabályt fogalmazunk meg. Vagy egyenlőtlenség, például minden 10-nél nagyobb szám. Ez egy végtelen halmaz lesz, mivel lehetetlen megnevezni a legnagyobb számot – hiába nevezzük meg, mindig ez a szám plusz 1.

A halmazokat általában a latin ábécé nagybetűivel jelölik, A, B, C stb. Ha egy halmaz meghatározott elemekből áll, és ezeknek az elemeknek a listájaként szeretnénk definiálni, akkor ezt a listát kapcsos zárójelek közé tehetjük, például A=(a, b, c, d). Ha a az A halmaz eleme, akkor a következőképpen írjuk le: a Î A. Ha a nem eleme az A halmaznak, akkor írjon a-t Ï V. Az egyik fontos halmaz az összes természetes szám N halmaza N=(1,2,3,...,) . Létezik egy speciális, úgynevezett üres halmaz is, amely egyetlen elemet sem tartalmaz. Az üres halmazt a szimbólum jelöli Æ .

1. definíció (halmazegyenlőség definíciója). Készletek Aés B egyenlők, ha azonos elemekből állnak, vagyis ha xÎ A követi x Î B-t és fordítva, x-től Î B követi x Î A-t.

Formálisan a két halmaz egyenlőségét a következőképpen írjuk le:

(A=B) := " x (( x Î A ) Û (x Î B )),

Ez azt jelenti, hogy bármely x objektumra az x relációkÎ A és xО B egyenértékűek.

Itt " – univerzális kvantor (" x"mindenki számára" olvasható x").

2. definíció (részhalmaz definíció). Egy csomó A a halmaz egy részhalmaza BAN BEN, ha van x a sokasághoz tartozó A, a készlethez tartozik BAN BEN. Formálisan ez egy kifejezésként ábrázolható:

(A Ì B) := " x((x Î A) Þ (x Î B))

Ha egy Ì B de A ¹ B, akkor A a halmaz megfelelő részhalmaza BAN BEN. Példaként ismét említhetünk egy egyenest és egy szakaszt. Ha egy szakasz egy egyenesen fekszik, akkor pontjainak halmaza ennek az egyenesnek a pontjainak részhalmaza. Vagy egy másik példa. A 3-mal egyenlően osztható egész számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza.

Megjegyzés. Az üres halmaz bármely halmaz részhalmaza.

Műveletek beállítása

A következő műveletek lehetségesek a készleteken:

Egy egyesület. Ennek a műveletnek az a lényege, hogy két halmazt egyesítünk egy olyanba, amely az egyesített halmazok elemeit tartalmazza. Formálisan így néz ki:

C=AÈ B: = {x:x Î A vagy xÎ B}

Példa. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget | 2 x+ 3 | > 7.

Ebből vagy a 2x+3 >7 egyenlőtlenség következik 2x+3 esetén≥0, majd x>2

vagy egyenlőtlenség 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldási halmaza a (-∞,-5) halmazok uniója. È (2, ∞).

Ellenőrizzük. Számítsuk ki a kifejezés értékét | 2 x+ 3 | egy adott tartományban több fekvő és nem fekvő pontra:

x	\| 2 x+ 3 \|
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Amint látja, minden helyesen megoldódott (a határtartományok pirossal vannak jelölve).

Útkereszteződés. A metszés egy új halmaz létrehozásának művelete két olyan elemből, amelyek mindkét halmazban szerepelnek. Ennek vizualizálásához képzeljük el, hogy két ponthalmazunk van a síkon, mégpedig az A ábra és a B ábra. Metszéspontjuk a C ábrát jelöli – ez a halmazok metszéspontjának műveletének eredménye:

Formálisan a halmazok metszéspontjának műveletét a következőképpen írjuk le:

C=A Ç B:= (x: x Î A és x О B )

Példa. Akkor legyen egy készletünk C=A Ç B = {5,6,7}

Kivonás. A halmazok kivonása azoknak az elemeknek a kivonása a részösszegből, amelyeket a részfej és a kivonó tartalmaz:

Formálisan egy halmaz kivonását a következőképpen írják le:

A\B:={x:x Î A és xÏ B}

Példa. Legyen nálunk bőven A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Akkor C=A\ B = { 1,2,3,4}

Kiegészítés. A komplement egy unáris művelet (nem kettő, hanem egy halmaz művelete). Ez a művelet egy adott halmaz kivonásának eredménye a teljes univerzális halmazból (az összes többi halmazt tartalmazó halmazból).

A : = (x:x Î U és x Ï A) = U \ A

Grafikusan ez a következőképpen ábrázolható:

Szimmetrikus különbség. A szokásos eltéréssel ellentétben a halmazok szimmetrikus különbsége mellett csak azok az elemek maradnak meg, amelyek akár az egyik, akár a másik halmazban jelen vannak. Vagy leegyszerűsítve, két halmazból jön létre, de azok az elemek, amelyek mindkét halmazban vannak, ki vannak zárva belőle:

Matematikailag ez a következőképpen fejezhető ki:

A D B:= (A\B) È ( B\A) = (A È B) \ (A Ç B)

A halmazokon végzett műveletek tulajdonságai.

A halmazok egyesülésének és metszetének definícióiból az következik, hogy a metszet és az unió műveletei a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Kommutativitás.

A È B=BÈ A
AÇ B=BÇ A

Az asszociativitás.

(A È B) È C=AÈ ( B È C)
(A Ç B) Ç C=AÇ ( B Ç C)

Minden könyv ingyenesen és regisztráció nélkül letölthető.

Elmélet.

ÚJ.
Natanzon S.M. Matematikai elemzés rövid kurzusa. 2004 98 oldalas djvu. 1,2 MB.

Ez a kiadvány a szerző által a Független Moszkvai Egyetem 1. éves hallgatói számára tartott előadások rövid felvétele az 1997-1998-as és a 2002-2003-as tanévben.

Letöltés
Ez a könyv a műszaki egyetemek hallgatóinak íródott, akik szeretnének felkészülni a matematikai elemzés vizsgájára. A könyv tartalma teljes mértékben megfelel a „Matematikai elemzés” kurzus programjának, amely vizsgát a legtöbb oroszországi felsőoktatási intézményben biztosítják. A program segít gyorsan és felesleges nehézségek nélkül megtalálni a szükséges választ a feltett kérdésre.
A kérdéseket a szerző személyes tapasztalatok alapján, a pedagógusok igényeit figyelembe véve állította össze.