Entrez la fraction :

Considérons le problème de la conversion d'une fraction décimale en une fraction ordinaire avec la précision requise. Par exemple,
0,3333333 = 1/3

On suppose que la fraction décimale saisie ne comporte pas de partie entière.
Pour résoudre le problème, nous utiliserons deux variables, représentant le numérateur et le dénominateur de la fraction.
La recherche d'une solution comprendra deux étapes :

• Rechercher une solution approximative
• Affiner la solution jusqu'à obtenir la précision requise

Dans un premier temps, on prend les valeurs initiales du numérateur et du dénominateur égales à 1. A chaque étape, on augmente la valeur du dénominateur de 1 et on trouve la fraction
Numérateur dénominateur
A la première itération, le dénominateur est 1, et 1/1=1, et cette valeur est supérieure à la fraction décimale saisie. On augmente le dénominateur de 1 jusqu'à obtenir
Numérateur/Dénominateur - Fraction entrée< 0

Ainsi, nous avons trouvé la première approximation. On sait que la fraction saisie correspond à fraction commune entre
Numérateur / (Dénominateur - 1) Et Numérateur dénominateur

Dans un deuxième temps, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première approximation obtenue par un facteur qui prendra des valeurs séquentielles 2, 3, 4, etc.
Encore une fois, en augmentant le dénominateur de 1, nous obtenons l'approximation suivante, et si elle nous convient en termes de précision, alors nous supposerons que la fraction ordinaire requise a été trouvée.

Implémentation en C++

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62

#inclure
en utilisant l'espace de noms std ;
fonction vide ( double nombre, double eps, int & ch, int & zn)
{
entier a = 1 ; entier b = 1 ;
int mn = 2 ; // multiplicateur pour première approximation
int iter = 0 ;
ch = une; zn = b;
// Recherche d'une première approximation
double c = 1 ;
faire (
b++;
c = ( double)un B;
) tandis que ((num - c)< 0);
si ((num - c)< eps)
{
ch = une; zn = b;
retour ;
}
b- ;
c = ( double)un B;
si ((num - c) > -eps)
{
ch = une; zn = b;
retour ;
}
// Précision
tandis que (iter< 20000)
{
int cc = a*mn, zz = b*mn;
iter++;
faire (
zz++;
c = ( double)cc/zz;
) tandis que ((num - c)< 0);
si ((num - c)< eps)
{
ch = cc; zn = zz;
retour ;
}
zz- ;
c = ( double)cc/zz;
si ((num - c) > -eps)
{
ch = cc; zn = zz;
retour ;
}
mn++;
}
}
int main()
{
double entrée ;
int ch, zn;
double eps = 0,0000001 ;
cout<< "num=" ;
cin >> entrée;
fonction(inp, eps, ch, zn);
cout<< ch << " / " << zn << endl;
cin.get(); cin.get();
renvoyer 1 ;
}

Résultat de l'exécution

Très souvent, la condition d’un problème nous oblige à écrire la réponse sous forme de fraction décimale, car elle est beaucoup plus facile à percevoir qu’une fraction ordinaire. Convertir une fraction en décimal est très simple.

Comment convertir une fraction en décimal

Pour convertir une fraction en nombre décimal, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. une/b = une ÷ b

Exemple 1 : Convertissez 1/10 en nombre décimal.

En utilisant la règle ci-dessus, divisez 1 par 10 :
1 ÷ 10 = 0,1

Exemple 2 : Convertissez 2/16 en nombre décimal.

Tout d'abord, on réduit 2 et 16, on obtient 1/8.

Divisez 1 par 8 : 1 ÷ 8 = 0,125

Comment convertir une fraction ordinaire en fraction périodique infinie

Il existe des cas où la division du numérateur par le dénominateur donne une fraction décimale infinie.

Par exemple, 1/15 = 1 ÷ 15 = 0,1333333333. Que faire dans de tels cas ?

Exemple : convertissez 5/18 en nombre décimal.

5/18 = 5 ÷ 18 = 0,277777777 = 0,27(7). Nous avons un nombre infini de sept. Les parenthèses signifient que le nombre saisi est répété à l'infini.
Dans de telles situations, vous devez arrondir le nombre obtenu. Arrondissez 0,277777777 au centième le plus proche et obtenez environ 0,28

Comme diviser le numérateur par le dénominateur prend souvent beaucoup de temps, vous pouvez utiliser une calculatrice.

Comment convertir une fraction en décimal en ligne

Si vous ne souhaitez pas convertir de fractions, vous pouvez utiliser le service en ligne. Entrez simplement les valeurs du numérateur et du dénominateur et le mini-programme vous donnera la réponse. Le programme vous permet également de faire l'inverse : convertir une fraction décimale en fraction commune.

Dans cet article, nous verrons comment convertir des fractions en décimales, et considérons également le processus inverse : convertir des fractions décimales en fractions ordinaires. Ici, nous décrirons les règles de conversion des fractions et fournirons des solutions détaillées à des exemples typiques.

Navigation dans les pages.

Conversion de fractions en décimales

Désignons l'ordre dans lequel nous traiterons convertir des fractions en décimales.

Tout d’abord, nous verrons comment représenter des fractions avec des dénominateurs 10, 100, 1 000,… sous forme de décimales. Cela s'explique par le fait que les fractions décimales sont essentiellement une forme compacte d'écriture de fractions ordinaires avec les dénominateurs 10, 100, ....

Après cela, nous irons plus loin et montrerons comment écrire n'importe quelle fraction ordinaire (pas seulement celles dont les dénominateurs sont 10, 100, ...) sous forme de fraction décimale. Lorsque les fractions ordinaires sont traitées de cette manière, on obtient à la fois des fractions décimales finies et des fractions décimales périodiques infinies.

Parlons maintenant de tout dans l'ordre.

Conversion de fractions communes avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales

Certaines fractions appropriées nécessitent une « préparation préliminaire » avant d'être converties en décimales. Ceci s'applique aux fractions ordinaires dont le nombre de chiffres au numérateur est inférieur au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, la fraction commune 2/100 doit d'abord être préparée pour être convertie en fraction décimale, mais la fraction 9/10 ne nécessite aucune préparation.

La « préparation préliminaire » des fractions ordinaires appropriées pour la conversion en fractions décimales consiste à ajouter autant de zéros à gauche du numérateur que le nombre total de chiffres y soit égal au nombre de zéros au dénominateur. Par exemple, une fraction après avoir ajouté des zéros ressemblera à .

Une fois que vous avez préparé une fraction appropriée, vous pouvez commencer à la convertir en décimal.

Donne moi règle pour convertir une fraction commune appropriée avec un dénominateur de 10, ou 100, ou 1 000, ... en une fraction décimale. Il se compose de trois étapes :

• écrivez 0 ;
• après cela, nous mettons un point décimal ;
• Nous notons le nombre du numérateur (avec les zéros ajoutés, si nous les ajoutons).

Considérons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Convertissez la fraction appropriée 37/100 en décimal.

Solution.

Le dénominateur contient le nombre 100, qui comporte deux zéros. Le numérateur contient le nombre 37, sa notation comporte deux chiffres, cette fraction n'a donc pas besoin d'être préparée pour la conversion en fraction décimale.

Maintenant, nous écrivons 0, mettons un point décimal et écrivons le nombre 37 à partir du numérateur, et nous obtenons la fraction décimale 0,37.

Répondre:

0,37 .

Pour renforcer les compétences de conversion de fractions ordinaires appropriées avec les numérateurs 10, 100, ... en fractions décimales, nous analyserons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction appropriée 107/10 000 000 sous forme décimale.

Solution.

Le nombre de chiffres au numérateur est 3 et le nombre de zéros au dénominateur est 7, cette fraction commune doit donc être préparée pour la conversion en décimal. Nous devons ajouter 7-3=4 zéros à gauche du numérateur pour que le nombre total de chiffres soit égal au nombre de zéros au dénominateur. On a.

Il ne reste plus qu'à créer la fraction décimale requise. Pour ce faire, premièrement, nous écrivons 0, deuxièmement, nous mettons une virgule, troisièmement, nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros 0000107, nous obtenons ainsi une fraction décimale 0,0000107.

Répondre:

0,0000107 .

Les fractions incorrectes ne nécessitent aucune préparation lors de la conversion en décimales. Ce qui suit doit être respecté règles pour convertir des fractions impropres avec des dénominateurs 10, 100, ... en décimales:

• notez le nombre à partir du numérateur ;
• Nous utilisons un point décimal pour séparer autant de chiffres à droite qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction originale.

Examinons l'application de cette règle lors de la résolution d'un exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction impropre 56 888 038 009/100 000 en décimale.

Solution.

Premièrement, nous notons le nombre à partir du numérateur 56888038009, et deuxièmement, nous séparons les 5 chiffres de droite par un point décimal, puisque le dénominateur de la fraction originale a 5 zéros. En conséquence, nous avons la fraction décimale 568880,38009.

Répondre:

568 880,38009 .

Pour convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale dont le dénominateur de la partie fractionnaire est le nombre 10, ou 100, ou 1 000, ..., vous pouvez convertir le nombre fractionnaire en une fraction ordinaire impropre, puis convertir le résultat obtenu. fraction en fraction décimale. Mais vous pouvez également utiliser ce qui suit la règle pour convertir les nombres fractionnaires avec un dénominateur fractionnaire de 10, ou 100, ou 1 000, ... en fractions décimales:

• si nécessaire, nous effectuons une « préparation préliminaire » de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire original en ajoutant le nombre requis de zéros à gauche au numérateur ;
• notez la partie entière du nombre mixte original ;
• mettre un point décimal ;
• Nous notons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés.

Regardons un exemple dans lequel nous effectuons toutes les étapes nécessaires pour représenter un nombre fractionnaire sous forme de fraction décimale.

Exemple.

Convertissez le nombre fractionnaire en nombre décimal.

Solution.

Le dénominateur de la partie fractionnaire a 4 zéros et le numérateur contient le nombre 17, composé de 2 chiffres, nous devons donc ajouter deux zéros à gauche dans le numérateur pour que le nombre de chiffres y devienne égal au nombre de des zéros au dénominateur. Ceci fait, le numérateur sera 0017.

Maintenant, nous écrivons la partie entière du nombre d'origine, c'est-à-dire le nombre 23, mettons un point décimal, après quoi nous écrivons le nombre du numérateur avec les zéros ajoutés, c'est-à-dire 0017, et nous obtenons la décimale souhaitée. fraction 23,0017.

Écrivons brièvement toute la solution : .

Bien entendu, il était possible de représenter d’abord le nombre fractionnaire sous la forme d’une fraction impropre, puis de le convertir en fraction décimale. Avec cette approche, la solution ressemble à ceci : .

Répondre:

23,0017 .

Conversion de fractions en décimales périodiques finies et infinies

Vous pouvez convertir non seulement des fractions ordinaires avec des dénominateurs 10, 100, ... en fraction décimale, mais également des fractions ordinaires avec d'autres dénominateurs. Voyons maintenant comment cela se fait.

Dans certains cas, la fraction ordinaire originale est facilement réduite à l'un des dénominateurs 10, ou 100, ou 1 000, ... (voir amener une fraction ordinaire à un nouveau dénominateur), après quoi il n'est pas difficile de représenter la fraction résultante comme fraction décimale. Par exemple, il est évident que la fraction 2/5 peut être réduite à une fraction de dénominateur 10, pour cela il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donnera la fraction 4/10, qui, selon le règles discutées dans le paragraphe précédent, est facilement convertie en fraction décimale 0, 4 .

Dans d'autres cas, vous devez utiliser une autre méthode de conversion d'une fraction ordinaire en décimal, que nous passons maintenant à l'examen.

Pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale, le numérateur de la fraction est divisé par le dénominateur, le numérateur est d'abord remplacé par une fraction décimale égale avec n'importe quel nombre de zéros après la virgule décimale (nous en avons parlé dans la section égal et fractions décimales inégales). Dans ce cas, la division s'effectue de la même manière que la division par une colonne de nombres naturels, et dans le quotient une virgule décimale est placée lorsque la division de la partie entière du dividende se termine. Tout cela deviendra clair à partir des solutions aux exemples donnés ci-dessous.

Exemple.

Convertissez la fraction 621/4 en nombre décimal.

Solution.

Représentons le nombre au numérateur 621 sous la forme d'une fraction décimale, en ajoutant un point décimal et plusieurs zéros après. Tout d'abord, ajoutons 2 chiffres 0, plus tard, si nécessaire, nous pouvons toujours ajouter d'autres zéros. Nous avons donc 621,00.

Divisons maintenant le nombre 621 000 par 4 avec une colonne. Les trois premières étapes ne sont pas différentes de la division de nombres naturels par une colonne, après quoi nous arrivons à l'image suivante :

C’est ainsi que l’on arrive à la virgule décimale du dividende, et le reste est différent de zéro. Dans ce cas, on met un point décimal dans le quotient et on continue à diviser en colonne, sans faire attention aux virgules :

Ceci termine la division et nous obtenons ainsi la fraction décimale 155,25, qui correspond à la fraction ordinaire d'origine.

Répondre:

155,25 .

Pour consolider le matériel, considérons la solution d'un autre exemple.

Exemple.

Convertissez la fraction 21/800 en décimal.

Solution.

Pour convertir cette fraction commune en décimale, on divise avec une colonne de la fraction décimale 21 000... par 800. Après la première étape, nous devrons mettre un point décimal dans le quotient, puis continuer la division :

Finalement, nous avons obtenu le reste 0, ceci achève la conversion de la fraction commune 21/400 en fraction décimale, et nous sommes arrivés à la fraction décimale 0,02625.

Répondre:

0,02625 .

Il peut arriver qu'en divisant le numérateur par le dénominateur d'une fraction ordinaire, on n'obtienne toujours pas un reste de 0. Dans ces cas, la division peut être poursuivie indéfiniment. Cependant, à partir d'un certain pas, les restes commencent à se répéter périodiquement et les nombres du quotient se répètent également. Cela signifie que la fraction originale est convertie en une fraction décimale périodique infinie. Montrons cela avec un exemple.

Exemple.

Écrivez la fraction 19/44 sous forme décimale.

Solution.

Pour convertir une fraction commune en décimale, effectuez une division par colonne :

Il est déjà clair que lors de la division, les résidus 8 et 36 ont commencé à se répéter, tandis que dans le quotient les nombres 1 et 8 se répètent. Ainsi, la fraction commune originale 19/44 est convertie en une fraction décimale périodique 0,43181818...=0,43(18).

Répondre:

0,43(18) .

Pour conclure ce point, nous déterminerons quelles fractions ordinaires peuvent être converties en fractions décimales finies et lesquelles ne peuvent être converties qu'en fractions périodiques.

Ayons devant nous une fraction ordinaire irréductible (si la fraction est réductible, alors nous réduisons d'abord la fraction), et nous devons découvrir en quelle fraction décimale elle peut être convertie - finie ou périodique.

Il est clair que si une fraction ordinaire peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ..., alors la fraction résultante peut être facilement convertie en une fraction décimale finale selon les règles évoquées dans le paragraphe précédent. Mais aux dénominateurs 10, 100, 1 000, etc. Toutes les fractions ordinaires ne sont pas données. Seules les fractions dont les dénominateurs sont au moins un des nombres 10, 100,... peuvent être réduites à de tels dénominateurs. Et quels nombres peuvent être diviseurs de 10, 100,... ? Les nombres 10, 100, ... vont nous permettre de répondre à cette question, et ils sont les suivants : 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1 000 = 2 2 2 5 5 5, .... Il s’ensuit que les diviseurs sont 10, 100, 1 000, etc. Il ne peut y avoir que des nombres dont les décompositions en facteurs premiers contiennent uniquement les nombres 2 et (ou) 5.

Nous pouvons maintenant tirer une conclusion générale sur la conversion de fractions ordinaires en décimales :

• si dans la décomposition du dénominateur en facteurs premiers seuls les nombres 2 et (ou) 5 sont présents, alors cette fraction peut être convertie en une fraction décimale finale ;
• si, en plus des deux et des cinq, il existe d'autres nombres premiers dans le développement du dénominateur, alors cette fraction est convertie en une fraction périodique décimale infinie.

Exemple.

Sans convertir des fractions ordinaires en décimales, dites-moi laquelle des fractions 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 peut être convertie en une fraction décimale finale, et lesquelles ne peuvent être converties qu'en une fraction périodique.

Solution.

Le dénominateur de la fraction 47/20 est factorisé en facteurs premiers comme 20=2·2·5. Dans cette expansion, il n'y a que deux et cinq, donc cette fraction peut être réduite à l'un des dénominateurs 10, 100, 1 000, ... (dans cet exemple, au dénominateur 100), donc peut être convertie en une décimale finale fraction.

Le dénominateur de la fraction 7/12 est factorisé en facteurs premiers comme 12=2·2·3. Puisqu'elle contient un facteur premier de 3, différent de 2 et 5, cette fraction ne peut pas être représentée comme une décimale finie, mais peut être convertie en une décimale périodique.

Fraction 21/56 – contractile, après contraction il prend la forme 3/8. La factorisation du dénominateur en facteurs premiers contient trois facteurs égaux à 2, donc la fraction commune 3/8, et donc la fraction égale 21/56, peut être convertie en une fraction décimale finale.

Enfin, le développement du dénominateur de la fraction 31/17 est lui-même 17, donc cette fraction ne peut pas être convertie en une fraction décimale finie, mais peut être convertie en une fraction périodique infinie.

Répondre:

47/20 et 21/56 peuvent être convertis en fraction décimale finie, mais 7/12 et 31/17 ne peuvent être convertis qu'en fraction périodique.

Les fractions ordinaires ne sont pas converties en décimales infinies non périodiques

Les informations du paragraphe précédent soulèvent la question : « La division du numérateur d’une fraction par le dénominateur peut-elle donner une fraction infinie non périodique ?

Réponse : non. Lors de la conversion d’une fraction commune, le résultat peut être soit une fraction décimale finie, soit une fraction décimale périodique infinie. Expliquons pourquoi il en est ainsi.

D'après le théorème sur la divisibilité avec un reste, il est clair que le reste est toujours inférieur au diviseur, c'est-à-dire que si nous divisons un entier par un entier q, alors le reste ne peut être que l'un des nombres 0, 1, 2 , ..., q−1. Il s'ensuit qu'une fois que la colonne a fini de diviser la partie entière du numérateur d'une fraction commune par le dénominateur q, en pas plus de q étapes, l'une des deux situations suivantes se présentera :

• soit nous obtiendrons un reste de 0, cela mettra fin à la division et nous obtiendrons la fraction décimale finale ;
• ou nous obtiendrons un reste qui est déjà apparu auparavant, après quoi les restes commenceront à se répéter comme dans l'exemple précédent (puisqu'en divisant des nombres égaux par q, on obtient des restes égaux, ce qui découle du théorème de divisibilité déjà mentionné), ce se traduira par une fraction décimale périodique infinie.

Il ne peut y avoir d'autres options, par conséquent, lors de la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale, une fraction décimale non périodique infinie ne peut pas être obtenue.

Du raisonnement donné dans ce paragraphe, il résulte également que la durée de la période d'une fraction décimale est toujours inférieure à la valeur du dénominateur de la fraction ordinaire correspondante.

Conversion de décimales en fractions

Voyons maintenant comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire. Commençons par convertir les fractions décimales finales en fractions ordinaires. Après cela, nous considérerons une méthode pour inverser des fractions décimales périodiques infinies. En conclusion, disons de l'impossibilité de convertir des fractions décimales non périodiques infinies en fractions ordinaires.

Conversion de décimales finales en fractions

Obtenir une fraction écrite sous forme décimale finale est assez simple. La règle pour convertir une fraction décimale finale en une fraction commune se compose de trois étapes :

• tout d'abord, écrivez la fraction décimale donnée dans le numérateur, après avoir préalablement supprimé le point décimal et tous les zéros à gauche, le cas échéant ;
• deuxièmement, écrivez-en un dans le dénominateur et ajoutez-y autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
• troisièmement, si nécessaire, réduisez la fraction résultante.

Regardons les solutions aux exemples.

Exemple.

Convertissez le nombre décimal 3,025 en fraction.

Solution.

Si nous supprimons le point décimal de la fraction décimale d’origine, nous obtenons le nombre 3 025. Il n’y a pas de zéros à gauche que nous rejetterions. Ainsi, on écrit 3 025 au numérateur de la fraction souhaitée.

Nous écrivons le nombre 1 au dénominateur et ajoutons 3 zéros à sa droite, car dans la fraction décimale originale, il y a 3 chiffres après la virgule décimale.

Nous avons donc obtenu la fraction commune 3 025/1 000. Cette fraction peut être réduite de 25, on obtient .

Répondre:

.

Exemple.

Convertissez la fraction décimale 0,0017 en fraction.

Solution.

Sans point décimal, la fraction décimale originale ressemble à 00017, en ignorant les zéros à gauche, nous obtenons le nombre 17, qui est le numérateur de la fraction ordinaire souhaitée.

Nous écrivons un avec quatre zéros au dénominateur, puisque la fraction décimale originale a 4 chiffres après la virgule décimale.

En conséquence, nous avons une fraction ordinaire de 17/10 000. Cette fraction est irréductible et la conversion d'une fraction décimale en fraction ordinaire est terminée.

Répondre:

.

Lorsque la partie entière de la fraction décimale finale originale est différente de zéro, elle peut être immédiatement convertie en un nombre fractionnaire, en contournant la fraction commune. Donne moi règle pour convertir une fraction décimale finale en un nombre fractionnaire:

• le nombre avant la virgule décimale doit être écrit comme une partie entière du nombre fractionnaire souhaité ;
• au numérateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre obtenu à partir de la partie fractionnaire de la fraction décimale originale après avoir supprimé tous les zéros à gauche ;
• au dénominateur de la partie fractionnaire, vous devez écrire le nombre 1, auquel ajouter autant de zéros à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale d'origine ;
• si nécessaire, réduisez la partie fractionnaire du nombre fractionnaire obtenu.

Regardons un exemple de conversion d'une fraction décimale en nombre fractionnaire.

Exemple.

Exprimer la fraction décimale 152,06005 sous forme de nombre fractionnaire

Fractions

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Les fractions ne sont pas vraiment une nuisance au lycée. Pour le moment. Jusqu'à ce que vous rencontriez des puissances avec des exposants rationnels et des logarithmes. Et ici... Vous appuyez et appuyez sur la calculatrice, et elle affiche un affichage complet de certains nombres. Il faut penser avec sa tête comme en troisième année.

Trouvons enfin les fractions ! Eh bien, à quel point pouvez-vous vous y perdre !? De plus, tout est simple et logique. Donc, quels sont les types de fractions ?

Types de fractions. Transformations.

Il existe trois types de fractions.

1. Fractions communes , Par exemple:

Parfois, au lieu d'une ligne horizontale, ils mettent une barre oblique : 1/2, 3/4, 19/5, enfin, et ainsi de suite. Ici, nous utiliserons souvent cette orthographe. Le numéro du haut est appelé numérateur, inférieur - dénominateur. Si vous confondez constamment ces noms (ça arrive...), dites-vous la phrase : " Zzzzz souviens-toi! Zzzzz dénominateur - regarde zzzzz euh!" Écoutez, tout sera rappelé zzzz.)

Le tiret, qu'il soit horizontal ou incliné, signifie division le nombre du haut (numérateur) vers le bas (dénominateur). C'est tout! Au lieu d'un tiret, il est tout à fait possible de mettre un signe de division - deux points.

Lorsqu’une division complète est possible, cela doit être fait. Ainsi, au lieu de la fraction « 32/8 », il est bien plus agréable d'écrire le chiffre « 4 ». Ceux. 32 est simplement divisé par 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Je ne parle même pas de la fraction « 4/1 ». Ce qui est aussi juste "4". Et si ce n’est pas complètement divisible, on le laisse sous forme de fraction. Parfois il faut faire l’opération inverse. Convertissez un nombre entier en fraction. Mais plus là-dessus plus tard.

2. Décimales , Par exemple:

C'est sous cette forme que vous devrez noter les réponses aux tâches « B ».

3. Numéros mixtes , Par exemple:

Les nombres mixtes ne sont pratiquement pas utilisés au lycée. Pour pouvoir travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Mais il faut absolument être capable de le faire ! Sinon, vous rencontrerez un tel numéro dans un problème et vous vous figerez... Sorti de nulle part. Mais on retiendra cette procédure ! Un peu plus bas.

Le plus polyvalent fractions communes. Commençons par eux. D'ailleurs, si une fraction contient toutes sortes de logarithmes, sinus et autres lettres, cela ne change rien. Dans le sens où tout les actions avec des expressions fractionnaires ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires!

La propriété principale d'une fraction.

Alors allons-y! Pour commencer, je vais vous surprendre. Toute la variété des transformations de fractions est assurée par une seule propriété ! C'est comme ça que ça s'appelle propriété principale d'une fraction. Souviens-toi: Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre, la fraction ne change pas. Ceux:

Il est clair que vous pouvez continuer à écrire jusqu’à ce que vous ayez le visage bleu. Ne vous laissez pas dérouter par les sinus et les logarithmes, nous y reviendrons plus loin. L'essentiel est de comprendre que toutes ces diverses expressions sont la même fraction . 2/3.

En avons-nous besoin, toutes ces transformations ? Et comment! Maintenant, vous verrez par vous-même. Pour commencer, utilisons la propriété de base d'une fraction pour fractions réductrices. Cela semblerait être une chose élémentaire. Divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre et c'est tout ! Il est impossible de se tromper ! Mais... l'homme est un être créateur. Vous pouvez faire une erreur n’importe où ! Surtout si vous devez réduire non pas une fraction comme 5/10, mais une expression fractionnaire avec toutes sortes de lettres.

Comment réduire correctement et rapidement des fractions sans effectuer de travail supplémentaire peut être lu dans la section spéciale 555.

Un étudiant normal ne prend pas la peine de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (ou expression) ! Il raye simplement tout ce qui est pareil en haut et en bas ! C’est là que se cache une erreur typique, une bévue, si vous préférez.

Par exemple, vous devez simplifier l'expression :

Il n’y a rien à penser ici, rayez la lettre « a » en haut et les deux en bas ! On a:

Tout est correct. Mais en réalité tu es divisé tous numérateur et tous le dénominateur est "a". Si vous avez l'habitude de simplement rayer, alors, à la hâte, vous pouvez rayer le « a » dans l'expression

et récupère-le à nouveau

Ce qui serait catégoriquement faux. Parce qu'ici tous le numérateur sur "a" est déjà ne partage pas! Cette fraction ne peut pas être réduite. D'ailleurs, une telle réduction est, euh... un sérieux défi pour l'enseignant. Ce n'est pas pardonné ! Vous souvenez-vous? Lors de la réduction, vous devez diviser tous numérateur et tous dénominateur!

Réduire les fractions rend la vie beaucoup plus facile. Vous obtiendrez une fraction quelque part, par exemple 375/1000. Comment puis-je continuer à travailler avec elle maintenant ? Sans calculatrice ? Multipliez, disons, additionnez, mettez au carré !? Et si vous n'êtes pas trop paresseux, et réduisez-le soigneusement de cinq, et de cinq encore, et même... pendant qu'on le raccourcit, bref. Prenons 3/8 ! Beaucoup plus sympa, non ?

La propriété principale d'une fraction vous permet de convertir des fractions ordinaires en décimales et vice versa sans calculatrice! C'est important pour l'examen d'État unifié, n'est-ce pas ?

Comment convertir des fractions d'un type à un autre.

Avec les fractions décimales, tout est simple. Tel qu’on l’entend, tel s’écrit ! Disons 0,25. C'est zéro virgule vingt-cinq centièmes. On écrit donc : 25/100. On réduit (on divise le numérateur et le dénominateur par 25), on obtient la fraction habituelle : 1/4. Tous. Cela arrive et rien n'est réduit. Comme 0,3. C'est trois dixièmes, c'est-à-dire 3/10.

Et si les entiers ne sont pas nuls ? C'est bon. Nous écrivons la fraction entière sans aucune virgule au numérateur et au dénominateur - ce qui est entendu. Par exemple : 3.17. C'est trois virgule dix-sept centièmes. On écrit 317 au numérateur et 100 au dénominateur. On obtient 317/100. Rien n'est réduit, cela veut dire tout. C'est la réponse. Watson élémentaire ! De tout ce qui a été dit, une conclusion utile : n'importe quelle fraction décimale peut être convertie en une fraction commune .

Mais certaines personnes ne peuvent pas effectuer la conversion inverse de l’ordinaire en décimal sans calculatrice. Et c'est nécessaire ! Comment allez-vous écrire la réponse à l'examen d'État unifié !? Lisez attentivement et maîtrisez ce processus.

Quelle est la caractéristique d’une fraction décimale ? Son dénominateur est Toujours coûte 10, ou 100, ou 1000, ou 10000 et ainsi de suite. Si votre fraction commune a un dénominateur comme celui-ci, il n'y a pas de problème. Par exemple, 4/10 = 0,4. Ou 7/100 = 0,07. Ou 12/10 = 1,2. Et si la réponse à la tâche de la section « B » s'avérait être 1/2 ? Qu’écrirons-nous en réponse ? Les décimales sont obligatoires...

Souvenons-nous propriété principale d'une fraction ! Les mathématiques vous permettent avantageusement de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. N'importe quoi, d'ailleurs ! Sauf zéro, bien sûr. Alors utilisons cette propriété à notre avantage ! Par quoi le dénominateur peut-il être multiplié, c'est-à-dire 2 pour que ça devienne 10, ou 100, ou 1000 (plus petit c'est mieux, bien sûr...) ? A 5 heures, évidemment. N'hésitez pas à multiplier le dénominateur (c'est nous nécessaire) par 5. Mais alors le numérateur doit également être multiplié par 5. C'est déjà mathématiques demandes! Nous obtenons 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. C'est tout.

Cependant, toutes sortes de dénominateurs apparaissent. Vous rencontrerez par exemple la fraction 3/16. Essayez de trouver par quoi multiplier 16 pour obtenir 100 ou 1000... Ça ne marche pas ? Ensuite, vous pourrez simplement diviser 3 par 16. En l’absence de calculatrice, vous devrez diviser avec un coin, sur une feuille de papier, comme on l’enseignait à l’école primaire. Nous obtenons 0,1875.

Et il y a aussi de très mauvais dénominateurs. Par exemple, il n’existe aucun moyen de transformer la fraction 1/3 en une bonne décimale. À la fois sur la calculatrice et sur une feuille de papier, nous obtenons 0,3333333... Cela signifie que 1/3 est une fraction décimale exacte ne traduit pas. Identique à 1/7, 5/6 et ainsi de suite. Il y en a beaucoup, intraduisibles. Cela nous amène à une autre conclusion utile. Toutes les fractions ne peuvent pas être converties en nombre décimal !

Soit dit en passant, ce sont des informations utiles pour l’auto-test. Dans la section « B », vous devez écrire une fraction décimale dans votre réponse. Et vous avez, par exemple, 4/3. Cette fraction n'est pas convertie en décimale. Cela signifie que vous avez fait une erreur quelque part en cours de route ! Revenez en arrière et vérifiez la solution.

Nous avons donc compris les fractions ordinaires et décimales. Reste à traiter des nombres mixtes. Pour travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Comment faire? Vous pouvez attraper un élève de sixième et lui demander. Mais un élève de sixième ne sera pas toujours à portée de main... Vous devrez le faire vous-même. Ce n'est pas difficile. Vous devez multiplier le dénominateur de la partie fractionnaire par la partie entière et ajouter le numérateur de la partie fractionnaire. Ce sera le numérateur de la fraction commune. Et le dénominateur ? Le dénominateur restera le même. Cela semble compliqué, mais en réalité tout est simple. Regardons un exemple.

Supposons que vous soyez horrifié de voir le numéro dans le problème :

Calmement, sans panique, réfléchissons-nous. La partie entière est 1. Unité. La partie fractionnaire est 3/7. Le dénominateur de la partie fractionnaire est donc 7. Ce dénominateur sera le dénominateur de la fraction ordinaire. On compte le numérateur. On multiplie 7 par 1 (la partie entière) et on ajoute 3 (le numérateur de la partie fractionnaire). Nous obtenons 10. Ce sera le numérateur d'une fraction commune. C'est tout. Cela semble encore plus simple en notation mathématique :

Est-ce clair? Alors assurez votre succès ! Convertissez en fractions ordinaires. Vous devriez obtenir 10/7, 7/2, 23/10 et 21/4.

L’opération inverse – convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire – est rarement requise au lycée. Eh bien, si c'est le cas... Et si vous n'êtes pas au lycée, vous pouvez consulter l'article spécial 555. À propos, vous y découvrirez également les fractions impropres.

Eh bien, c'est pratiquement tout. Vous vous êtes souvenu des types de fractions et avez compris Comment les transférer d'un type à un autre. La question demeure : Pour quoi fais-le? Où et quand appliquer ces connaissances approfondies ?

Je réponds. Tout exemple lui-même suggère les actions nécessaires. Si dans l’exemple des fractions ordinaires, des décimales et même des nombres fractionnaires sont mélangés, nous convertissons le tout en fractions ordinaires. Cela peut toujours être fait. Eh bien, si cela dit quelque chose comme 0,8 + 0,3, alors nous le comptons de cette façon, sans aucune traduction. Pourquoi avons-nous besoin de travail supplémentaire ? Nous choisissons la solution qui vous convient nous !

Si la tâche est uniquement composée de fractions décimales, mais euh... des sortes de fractions maléfiques, allez aux fractions ordinaires, essayez-la ! Écoute, tout s'arrangera. Par exemple, vous devrez mettre au carré le nombre 0,125. Ce n’est pas si simple si on n’a pas l’habitude d’utiliser une calculatrice ! Non seulement il faut multiplier les nombres dans une colonne, mais il faut aussi réfléchir à l'endroit où insérer la virgule ! Cela ne fonctionnera certainement pas dans votre tête ! Et si on passait à une fraction ordinaire ?

0,125 = 125/1000. On le réduit de 5 (c'est pour commencer). Nous obtenons 25/200. Encore une fois à 5 heures. Nous obtenons 5/40. Oh, ça rétrécit encore ! Retour à 5 ! Nous obtenons 1/8. Nous pouvons facilement le mettre au carré (dans notre esprit !) et obtenir 1/64. Tous!

Résumons cette leçon.

1. Il existe trois types de fractions. Nombres communs, décimaux et mixtes.

2. Décimaux et nombres fractionnaires Toujours peut être converti en fractions ordinaires. Transfert inversé pas toujours disponible.

3. Le choix du type de fractions à utiliser avec une tâche dépend de la tâche elle-même. S'il existe différents types de fractions dans une tâche, le plus fiable est de passer aux fractions ordinaires.

Vous pouvez maintenant vous entraîner. Tout d’abord, convertissez ces fractions décimales en fractions ordinaires :

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Vous devriez obtenir des réponses comme celle-ci (dans le désordre !) :

Terminons ici. Dans cette leçon, nous avons rafraîchi notre mémoire sur les points clés concernant les fractions. Il arrive cependant qu'il n'y ait rien de particulier à rafraîchir...) Si quelqu'un l'a complètement oublié, ou ne l'a pas encore maîtrisé... Alors vous pouvez vous rendre dans une section spéciale 555. Toutes les bases y sont abordées en détail. Beaucoup soudainement comprend tout commencent. Et ils résolvent des fractions à la volée).

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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Une fraction décimale se compose de deux parties séparées par des virgules. La première partie est une unité entière, la deuxième partie est constituée de dizaines (s'il y a un nombre après la virgule), de centaines (deux nombres après la virgule, comme deux zéros dans cent), de millièmes, etc. Regardons des exemples de fractions décimales : 0, 2 ; 7, 54 ; 235.448 ; 5.1 ; 6.32 ; 0,5. Ce sont toutes des fractions décimales. Comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire ?

Premier exemple

Nous avons une fraction, par exemple 0,5. Comme mentionné ci-dessus, il se compose de deux parties. Le premier nombre, 0, indique le nombre d’unités entières de la fraction. Dans notre cas, il n'y en a pas. Le deuxième nombre indique des dizaines. La fraction indique même zéro virgule cinq. Nombre décimal convertir en fraction Maintenant, ce ne sera pas difficile, nous écrirons 5/10. Si vous voyez que les nombres ont un facteur commun, vous pouvez réduire la fraction. Nous avons ce nombre 5, en divisant les deux côtés de la fraction par 5, nous obtenons - 1/2.

Exemple deux

Prenons une fraction plus complexe - 2,25. Cela se lit comme ceci : deux virgule deux et vingt-cinq centièmes. Attention - les centièmes, car il y a deux nombres après la virgule décimale. Vous pouvez maintenant le convertir en fraction commune. Nous écrivons - 2 25/100. La partie entière est 2, la partie fractionnaire est 25/100. Comme dans le premier exemple, cette partie peut être raccourcie. Le facteur commun aux nombres 25 et 100 est le nombre 25. Notez que nous choisissons toujours le plus grand facteur commun. En divisant les deux côtés de la fraction par GCD, nous obtenons 1/4. Donc 2,25 équivaut à 2 1/4.

Troisième exemple

Et pour consolider le matériel, prenons la fraction décimale 4,112 - quatre virgule un et cent douze millièmes. Pourquoi les millièmes, je pense, est clair. Maintenant, nous écrivons 4 112/1000. A l'aide de l'algorithme, on trouve le pgcd des nombres 112 et 1000. Dans notre cas, il s'agit du nombre 6. On obtient 4 14/125.

Conclusion

1. Nous divisons la fraction en parties entières et fractionnaires.
2. Voyons combien de chiffres se trouvent après la virgule. Si un vaut des dizaines, deux vaut des centaines, trois vaut des millièmes, etc.
3. Nous écrivons la fraction sous forme ordinaire.
4. Réduisez le numérateur et le dénominateur de la fraction.
5. Nous notons la fraction résultante.
6. On vérifie en divisant la partie supérieure de la fraction par la partie inférieure. S'il y a une partie entière, ajoutez-la à la fraction décimale résultante. La version originale s’est avérée excellente, ce qui signifie que vous avez tout fait correctement.

À l’aide d’exemples, j’ai montré comment convertir une fraction décimale en fraction ordinaire. Comme vous pouvez le constater, c’est très simple et facile à faire.