Введите дробь:

Рассмотрим задачу перевода десятичной дроби в обыкновенную с требуемой точностью. Например,
0,3333333 = 1/3

Предполагается, что введенная десятичная дробь не имеет целой части.
Для решения задачи воспользуемся двумя переменными, представляющими собой числитель и знаменатель дроби.
Поиск решения будет состоять из двух этапов:

• Поиск приближенного решения
• Уточнение решения до получения требуемой точности

На первом этапе принимаем начальные значения числителя и знаменателя равными 1. На каждом шаге увеличиваем на 1 значение знаменателя и находим дробь
Числитель / Знаменатель
При первой итерации знаменатель равен 1 , и 1/1=1 , и это значение больше введенной десятичной дроби. Увеличиваем знаменатель на 1 до тех пор пока не получим
Числитель / Знаменатель — ВведеннаяДробь < 0

Таким образом, мы нашли первое приближение. Мы знаем, что введенная дробь соответствует обыкновенной дроби между
Числитель / (Знаменатель — 1) и Числитель / Знаменатель

На втором этапе умножим числитель и знаменатель полученного первого приближения на множитель, который будет принимать последовательно значения 2, 3, 4 и т.д
Снова, увеличивая знаменатель на 1, получим следующее приближение, и если оно устроит нас по точности, то будем считать, что найдена искомая обыкновенная дробь.

Реализация на C++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62

#include
using namespace std;
void func(do uble num, do uble eps, int &ch, int &zn)
{
int a = 1; int b = 1;
int mn = 2; // множитель для начального приближения
int iter = 0;
ch = a; zn = b;
// Поиск начального приближения
do uble c = 1;
do {
b++;
c = (do uble )a / b;
} while ((num — c) < 0);
if ((num — c) < eps)
{
ch = a; zn = b;
return ;
}
b—;
c = (do uble )a / b;
if ((num — c) > -eps)
{
ch = a; zn = b;
return ;
}
// Уточнение
while (iter < 20000)
{
int cc = a*mn, zz = b*mn;
iter++;
do {
zz++;
c = (do uble )cc / zz;
} while ((num — c) < 0);
if ((num — c) < eps)
{
ch = cc; zn = zz;
return ;
}
zz—;
c = (do uble )cc / zz;
if ((num — c) > -eps)
{
ch = cc; zn = zz;
return ;
}
mn++;
}
}
int main()
{
do uble inp;
int ch, zn;
do uble eps = 0.0000001;
cout << "num=" ;
cin >> inp;
func(inp, eps, ch, zn);
cout << ch << " / " << zn << endl;
cin.get(); cin.get();
return 1;
}

Результат выполнения

Очень часто условие задачи требует от нас записи ответа в десятичной дроби, ведь она воспринимается намного легче, чем обыкновенная. Преобразовать обыкновенную дробь в десятичную очень просто.

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Для того чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель. a/b = a ÷ b

Пример 1: Переведите 1/10 в десятичную дробь.

Пользуясь правилом выше, делим 1 на 10:
1 ÷ 10 = 0,1

Пример 2: Переведите 2/16 в десятичную дробь.

Первым делом сокращаем 2 и 16, получаем 1/8.

Делим 1 на 8: 1 ÷ 8 = 0.125

Как перевести обыкновенную дробь в бесконечную периодическую дробь

Встречаются случаи, когда разделив числитель на знаменатель получается бесконечная десятичная дробь.

Например, 1/15 = 1 ÷ 15 = 0.1333333333. Что делать в таких случаях?

Пример: Переведите 5/18 в десятичную дробь.

5/18 = 5 ÷ 18 = 0.277777777 = 0.27(7). Получили бесконечное количество семерок. Скобки означают, что цифра, внесенная в них, бесконечно повторяется.
В таких ситуация следует округлить получившееся число. Округляем 0.277777777 до сотых и приблизительно получаем 0.28

Так как часто деление числителя на знаменатель занимает много времени, можно воспользоваться калькулятором.

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную онлайн

Если переводить дроби не охота, можно воспользоваться онлайн сервисом . Просто впишите значения числителя и знаменателя, а мини-программа выдаст ответ. Программа также позволяет проделывать обратное – переводить десятичную дробь в обыкновенную.

В этой статье мы разберем, как осуществляется перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби , а также рассмотрим обратный процесс – перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби. Здесь мы озвучим правила обращения дробей и приведем подробные решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби

Обозначим последовательность, в которой мы будем разбираться с переводом обыкновенных дробей в десятичные дроби .

Сначала мы рассмотрим, как обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1 000, … представить в виде десятичных дробей . Это объясняется тем, что десятичные дроби по сути являются компактной формой записи обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … .

После этого мы пойдем дальше и покажем, как любую обыкновенную дробь (не только со знаменателями 10, 100, … ) записать в виде десятичной дроби. При таком обращении обыкновенных дробей получаются как конечные десятичные дроби, так и бесконечные периодические десятичные дроби.

Теперь обо всем по порядку.

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби

Некоторые правильные обыкновенные дроби перед переводом в десятичные дроби нуждаются в «предварительной подготовке». Это касается обыкновенных дробей, количество цифр в числителе которых меньше, чем количество нулей в знаменателе. Например, обыкновенную дробь 2/100 нужно предварительно подготовить к переводу в десятичную дробь, а дробь 9/10 в подготовке не нуждается.

«Предварительная подготовка» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби заключается в дописывании слева в числителе такого количества нулей, чтобы там общее количество цифр стало равно количеству нулей в знаменателе. Например, дробь после дописывания нулей будет иметь вид .

После подготовки правильной обыкновенной дроби можно приступать к ее обращению в десятичную дробь.

Дадим правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем 10, или 100, или 1 000, … в десятичную дробь . Оно состоит из трех шагов:

• записываем 0 ;
• после него ставим десятичную запятую;
• записываем число из числителя (вместе с дописанными нулями, если мы их дописывали).

Рассмотрим применение этого правила при решении примеров.

Пример.

Переведите правильную обыкновенную дробь 37/100 в десятичную.

Решение.

В знаменателе находится число 100 , в записи которого два нуля. В числителе находится число 37 , в его записи две цифры, следовательно, эта дробь не нуждается в подготовке к переводу в десятичную дробь.

Теперь записываем 0 , ставим десятичную запятую, и записываем число 37 из числителя, при этом получаем десятичную дробь 0,37 .

Ответ:

0,37 .

Для закрепления навыков перевода правильных обыкновенных дробей с числителями 10, 100, … в десятичные дроби разберем решение еще одного примера.

Пример.

Запишите правильную дробь 107/10 000 000 в виде десятичной дроби.

Решение.

Количество цифр в числителе равно 3 , а количество нулей в знаменателе равно 7 , поэтому данная обыкновенная дробь нуждается в подготовке к переводу в десятичную. Нам нужно дописать 7-3=4 нуля слева в числителе, чтобы общее количество цифр там стало равно количеству нулей в знаменателе. Получаем .

Осталось составить нужную десятичную дробь. Для этого, во-первых, записываем 0 , во-вторых, ставим запятую, в-третьих, записываем число из числителя вместе с нулями 0000107 , в итоге имеем десятичную дробь 0,0000107 .

Ответ:

0,0000107 .

Неправильные обыкновенные дроби не нуждаются в подготовке при переводе в десятичные дроби. Следует придерживаться следующего правила перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби :

• записываем число из числителя;
• отделяем десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.

Разберем применение этого правила при решении примера.

Пример.

Переведите неправильную обыкновенную дробь 56 888 038 009/100 000 в десятичную дробь.

Решение.

Во-первых, записываем число из числителя 56888038009, во-вторых, отделяем десятичной запятой 5 цифр справа, так как в знаменателе исходной дроби 5 нулей. В итоге имеем десятичную дробь 568 880,38009 .

Ответ:

568 880,38009 .

Для обращения в десятичную дробь смешанного числа , знаменателем дробной части которого является число 10 , или 100 , или 1 000, … , можно выполнить перевод смешанного числа в неправильную обыкновенную дробь, после чего полученную дробь обратить в десятичную дробь. Но можно пользоваться и следующим правилом перевода смешанных чисел со знаменателем дробной части 10, или 100, или 1 000, … в десятичные дроби :

• при необходимости выполняем «предварительную подготовку» дробной части исходного смешанного числа, дописав необходимое количество нулей слева в числителе;
• записываем целую часть исходного смешанного числа;
• ставим десятичную запятую;
• записываем число из числителя вместе с дописанными нулями.

Рассмотрим пример, при решении которого выполним все необходимые шаги для представления смешанного числа в виде десятичной дроби.

Пример.

Переведите смешанное число в десятичную дробь.

Решение.

В знаменателе дробной части 4 нуля, в числителе же находится число 17 , состоящее из 2 цифр, поэтому, нам нужно дописать два нуля слева в числителе, чтобы там число знаков стало равно числу нулей в знаменателе. Выполнив это, в числителе окажется 0017 .

Теперь записываем целую часть исходного числа, то есть, число 23 , ставим десятичную запятую, после которой записываем число из числителя вместе с дописанными нулями, то есть, 0017 , при этом получаем искомую десятичную дробь 23,0017 .

Запишем все решение кратко: .

Несомненно, можно было сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, после чего перевести ее в десятичную дробь. При таком подходе решение выглядит так: .

Ответ:

23,0017 .

Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби

В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, … , но обыкновенные дроби с другими знаменателями. Сейчас мы разберемся, как это делается.

В некоторых случаях исходная обыкновенная дробь легко приводится к одному из знаменателей 10 , или 100 , или 1 000, … (смотрите приведение обыкновенной дроби к новому знаменателю), после чего не составляет труда полученную дробь представить в виде десятичной дроби. Например, очевидно, что дробь 2/5 можно привести к дроби со знаменателем 10 , для этого нужно числитель и знаменатель умножить на 2 , что даст дробь 4/10 , которая по правилам, разобранным в предыдущем пункте, легко переводится в десятичную дробь 0,4 .

В остальных случаях приходится использовать другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную, к рассмотрению которого мы и переходим.

Для обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь выполняется деление числителя дроби на знаменатель, числитель предварительно заменяется равной ему десятичной дробью с любым количеством нулей после десятичной запятой (об этом мы говорили в разделе равные и неравные десятичные дроби). При этом деление выполняется так же, как деление столбиком натуральных чисел , а в частном ставится десятичная запятая, когда заканчивается деление целой части делимого. Все это станет понятно из решений примеров, приведенных ниже примеров.

Пример.

Переведите обыкновенную дробь 621/4 в десятичную дробь.

Решение.

Число в числителе 621 представим в виде десятичной дроби, добавив десятичную запятую и несколько нулей после нее. Для начала допишем 2 цифры 0 , позже, при необходимости, мы всегда можем добавить еще нулей. Итак, имеем 621,00 .

Теперь выполним деление столбиком числа 621,000 на 4 . Первые три шага ничем не отличаются от деления столбиком натуральных чисел, после них приходим к следующей картине:

Так мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток при этом отличен от нуля. В этом случае в частном ставим десятичную запятую, и продолжаем деление столбиком, не обращая внимания на запятые:

На этом деление закончено, а в результате мы получили десятичную дробь 155,25 , которая соответствует исходной обыкновенной дроби.

Ответ:

155,25 .

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Переведите обыкновенную дробь 21/800 в десятичную дробь.

Решение.

Для перевода данной обыкновенной дроби в десятичную, выполним деление столбиком десятичной дроби 21,000… на 800 . Нам после первого же шага придется поставить десятичную запятую в частном, после чего продолжить деление:

Наконец-то мы получили остаток 0 , на этом перевод обыкновенной дроби 21/400 в десятичную дробь закончен, и мы пришли к десятичной дроби 0,02625 .

Ответ:

0,02625 .

Может случиться, что при делении числителя на знаменатель обыкновенной дроби мы так и не получим в остатке 0 . В этих случаях деление можно продолжать сколь угодно долго. Однако, начиная с некоторого шага, остатки начитают периодически повторяться, при этом повторяются и цифры в частном. Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь . Покажем это на примере.

Пример.

Запишите обыкновенную дробь 19/44 в виде десятичной дроби.

Решение.

Для перевода обыкновенной дроби в десятичную выполним деление столбиком:

Уже сейчас видно, что при делении начали повторяться остатки 8 и 36 , при этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Таким образом, исходная обыкновенная дробь 19/44 переводится в периодическую десятичную дробь 0,43181818…=0,43(18) .

Ответ:

0,43(18) .

В заключение этого пункта разберемся, какие обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные дроби, а какие – только в периодические.

Пусть перед нами находится несократимая обыкновенная дробь (если дробь сократимая, то предварительно выполняем сокращение дроби), и нам нужно выяснить, в какую десятичную дробь ее можно перевести – в конечную или периодическую.

Понятно, что если обыкновенную дробь можно привести к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … , то полученную дробь легко перевести в конечную десятичную дробь по правилам, разобранным в предыдущем пункте. Но к знаменателям 10, 100, 1 000 и т.д. приводятся далеко не все обыкновенные дроби. К таким знаменателям можно привести лишь дроби, знаменатели которых являются хотя бы одного из чисел 10, 100, … А какие числа могут быть делителями 10, 100, … ? Ответить на этот вопрос нам позволят чисел 10, 100, … , а они таковы: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Отсюда следует, что делителями 10, 100, 1 000 и т.д. могут быть лишь числа, разложения которых на простые множители содержат лишь числа 2 и (или) 5 .

Теперь мы можем сделать общий вывод о переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби:

• если в разложении знаменателя на простые множители присутствуют лишь числа 2 и (или) 5 , то эту дробь можно перевести в конечную десятичную дробь;
• если кроме двое и пятерок в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, то эта дробь переводится к бесконечную десятичную периодическую дробь.

Пример.

Не выполняя перевод обыкновенных дробей в десятичные, скажите, какие из дробей 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можно перевести в конечную десятичную дробь, а какие - только в периодическую.

Решение.

Разложение на простые множители знаменателя дроби 47/20 имеет вид 20=2·2·5 . В этом разложении присутствуют лишь двойки и пятерки, поэтому эта дробь может быть приведена к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … (в этом примере к знаменателю 100 ), следовательно, может быть переведена в конечную десятичную дробь.

Разложение на простые множители знаменателя дроби 7/12 имеет вид 12=2·2·3 . Так как оно содержит простой множитель 3 , отличный от 2 и 5 , то эта дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, но может быть переведена в периодическую десятичную дробь.

Дробь 21/56 – сократимая, после сокращения она принимает вид 3/8 . Разложение знаменателя на простые множители содержит три множителя, равных 2 , следовательно, обыкновенная дробь 3/8 , а значит и равная ей дробь 21/56 , может быть переведена в конечную десятичную дробь.

Наконец, разложение знаменателя дроби 31/17 представляет собой само 17 , следовательно, эту дробь нельзя обратить в конечную десятичную дробь, но можно обратить в бесконечную периодическую.

Ответ:

47/20 и 21/56 можно перевести в конечную десятичную дробь, а 7/12 и 31/17 - только в периодическую.

Обыкновенные дроби не переводятся в бесконечные непериодические десятичные дроби

Информация предыдущего пункта порождает вопрос: «Может ли при делении числителя дроби на знаменатель получиться бесконечная непериодическая дробь»?

Ответ: нет. При переводе обыкновенной дроби может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь. Поясним, почему это так.

Из теоремы о делимости с остатком ясно, что остаток всегда меньше делителя, то есть, если мы выполняем деление некоторого целого числа на целое число q , то остатком может быть лишь одно из чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Отсюда следует, что после завершения деления столбиком целой части числителя обыкновенной дроби на знаменатель q , не более чем через q шагов возникнет одна из двух следующих ситуаций:

• либо мы получим остаток 0 , на этом деление закончится, и мы получим конечную десятичную дробь;
• либо мы получим остаток, который уже появлялся ранее, после этого остатки начнут повторяться как в предыдущем примере (так как при делении равных чисел на q получаются равные остатки, что следует из уже упомянутой теоремы о делимости), так будет получена бесконечная периодическая десятичная дробь.

Других вариантов быть не может, следовательно, при обращении обыкновенной дроби в десятичную дробь не может получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Из приведенных в этом пункте рассуждений также следует, что длина периода десятичной дроби всегда меньше, чем значение знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь разберемся, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Начнем с перевода конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби. После этого рассмотрим метод обращения бесконечных периодических десятичных дробей. В заключение скажем о невозможности перевода бесконечных непериодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.

Перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби

Получить обыкновенную дробь, которая записана в виде конечной десятичной дроби, достаточно просто. Правило перевода конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь состоит из трех шагов:

• во-первых, записать данную десятичную дробь в числитель, предварительно отбросив десятичную запятую и все нули слева, если они есть;
• во-вторых, в знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в исходной десятичной дроби;
• в-третьих, при необходимости выполнить сокращение полученной дроби.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Обратите десятичную дробь 3,025 в обыкновенную дробь.

Решение.

Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025 . В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили. Итак, в числитель искомой дроби записываем 3 025 .

В знаменатель записываем цифру 1 и справа к ней дописываем 3 нуля, так как в исходной десятичной дроби после запятой находятся 3 цифры.

Так мы получили обыкновенную дробь 3 025/1 000 . Эту дробь можно сократить на 25 , получаем .

Ответ:

.

Пример.

Выполните перевод десятичной дроби 0,0017 в обыкновенную дробь.

Решение.

Без десятичной запятой исходная десятичная дробь имеет вид 00017 , отбросив нули слева получаем число 17 , которое и является числителем искомой обыкновенной дроби.

В знаменатель записываем единицу с четырьмя нулями, так как в исходной десятичной дроби после запятой 4 цифры.

В итоге имеем обыкновенную дробь 17/10 000 . Эта дробь несократима, и перевод десятичной дроби в обыкновенную закончен.

Ответ:

.

Когда целая часть исходной конечной десятичной дроби отлична от нуля, то ее можно сразу перевести в смешанное число, минуя обыкновенную дробь. Дадим правило перевода конечной десятичной дроби в смешанное число :

• число до десятичной запятой надо записать как целую часть искомого смешанного числа;
• в числитель дробной части нужно записать число, полученное из дробной части исходной десятичной дроби после отбрасывания в ней всех нулей слева;
• в знаменателе дробной части нужно записать цифру 1 , к которой справа дописать столько нулей, сколько цифр находится в записи исходной десятичной дроби после запятой;
• при необходимости выполнить сокращение дробной части полученного смешанного числа.

Рассмотрим пример перевода десятичной дроби в смешанное число.

Пример.

Представьте десятичную дробь 152,06005 в виде смешанного числа

Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Десятичная дробь состоит из двух частей, которые разделены запятыми. Первая часть - это целая единица, вторая часть - это десятки (если число после запятой одно), сотни (два числа после запятой, как два нуля в ста), тысячные итд. Посмотрим на примеры десятичной дроби: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Всё это - десятичные дроби. Как же перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Пример первый

У нас есть дробь, к примеру, 0,5. Как уже выше писалось, она состоит из двух частей. Первое число 0, показывает, сколько целых единиц у дроби. В нашем случае их нет. Второе число показывает десятки. Дробь даже читается ноль целых пять десятых. Десятичное число перевести в дробь теперь не составит труда, пишем 5/10. Если видите, что у цифр есть общий делитель, можете сократить дробь. У нас это число 5, поделив обе части дроби на 5, получаем - 1/2.

Пример второй

Возьмем более сложную дробь - 2,25. Читается она так - две целых и двадцать пять сотых. Обратите внимание - сотых, так как чисел после запятой две. Теперь можно перевести в обыкновенную дробь. Записываем - 2 25/100. Целая часть - 2, дробная 25/100. Как и в первом примере, эту часть можно сократить. Общим делителем для цифр 25 и 100 является число 25. Заметьте, что мы всегда подбираем наибольший общий делитель. Разделив обе части дроби на НОД, получили 1/4. Итак, 2, 25 это 2 1/4.

Пример третий

И для закрепления материала возьмем десятичную дробь 4,112 - четыре целых и сто двенадцать тысячных. Почему тысячных, думаю, ясно. Записываем теперь 4 112/1000. По алгоритму находим НОД чисел 112 и 1000. В нашем случае - это число 6. Получаем 4 14/125.

Вывод

1. Разбиваем дробь на целую и дробную части.
2. Смотрим, сколько цифр после запятой. Если одна - это десятки, две - сотни, три -тысячные итд.
3. Записываем дробь в обыкновенном виде.
4. Сокращаем числитель и знаменатель дроби.
5. Записываем полученную дробь.
6. Выполняем проверку, делим верхнюю часть дроби на нижнюю. Если есть целая часть, прибавляем к полученной десятичной дроби. Получился исходный вариант - замечательно, значит, вы все сделали правильно.

На примерах я показала, как можно перевести десятичную дробь в обыкновенную. Как видите, сделать это очень легко и просто.